Matematika Diskrit (Tugas Pertemuan 4,5,6)

Nama Kelompok :
- Gardito Gema Ramadhan

- Tasya Nabila Fauzia 

Tugas Pertemuan 4

     1.     Empat buah ujian dilakukan dalam periode enam hari. Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada dua ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama. 

Jawaban : Cara permutasi P(6,4) = 6! /(6-4)! = 360

     2.    Berapa banyak string yang dapat dibentuk yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan 3 angka yang berbeda pula?

Jawaban : P(26,4) x P(10,3) = 258.336.000

     3.    Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut: 1,2,3,4,5 jika:       

a.    Tidak boleh ada pengulangan angka

Jawaban :  Dengan kaidah perkaliam : (5)(4)(3) = 60 buah

   Dengan rumus permutasian P(5,3) = 5!/(5,3)! = 60buah     

b.    Boleh ada pengulangan angka.

Jawaban : Tidak diselelsaikan dengan rumus permutasian
                    Dengan kaidah perkalian : (5)(5)(5) = 5³ =125

     4.    String biner yang panjangnya 32 bit disusun oleh digit 1 atau 0. Berapa banyak string biner yang    tepat berisi 7 buah bit 1?

Jawban: C(32,7) = 3.365.856

     5.    Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0).

a. Berapa banyak pola bit yang terbentuk? (atau berapa banyak karakter yang dapat  dipresentasikan?)

b. Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1?

c. Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap?

     Jawaban:

a.    Karakter ASCII dalam urutan 0,1,2,3,4,5,6,7

Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)
Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

Posisi 2 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

.....

Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

Semua posisi harus diisi, jadi jumlah pola bit yang terbentuk

= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2^8

b.    Kombinasi dari delapan dengan tiga atau C(n,r) = n!

dengan r!(n-r)!

Jawaban : C (8,3) = 8!/3!(8-3)! =  56

c.    Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)
Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)

Maka banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap = C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) = 40320 + 28 + 70 + 20160 = 60578

     6.    Suatu Panitia akan dibentuk dengan jumlah 5 orang. Berapa carakah pembentukan panitia tersebut  dapat dilakukan jika calon anggota terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita dan panitia harus

a.    terbentuk tanpa persyaratan lain

b.    terdiri 3 pria dan 2 wanita

c.    terdiri 2 pria dan 3 wanita

Jawaban:

a.    Karena tidak ada persyaratan yang lain jika semua pria dan wantita ditentukan menjadi panitia.

C(4,4) + C(3,1) = 4!/0!.4! + 3!/2!.1!

= 1 + 3 = 4 cara

b.    C(4,3) + C(3,2) = 4!/3!.1! + 3!/1!.2! = 4 + 3 = 7 cara

c.    C(4,2) + C(3,3) = 4!/2!.2! + 3!/0!.3! = 6 + 1 = 7 cara

Multiple Choice

     1.    Kaidah dasar perhitungan yaitu penjumlahan dan perkalian digunakan dalam

a. Kombinatorial

b. Permutasi

c. Kombinasi

d. Relasi

e. Induksi matematika

     2.    Suatu pengurutan data dimana urutan tidak diperhatikan adalah definisi .....

a. Permutasi

b. Kombinasi

c. Himpunan

d. Relasi

e. Fungsi

     3.    Penyusunan obyek dimana sebagian obyek sama disebut dengan .....

a. Permutasi bentuk umum

b. Kombinasi bentuk umum

c. Kombinasi perulangan

d. Permutasi perulangan

e. a dan b benar

     4.    Hasil perhitungan dari P(8,3) adalah ....

a. 6720

b. 240

c. 336

d. 520     

e. 56

     5.    Hasil perhitungan dari C((6,3)C(4,2) adalah ....

a. 2    

b. 6

c. 1440

d. 120     

e. 144

Tugas Pertemuan 5

Tugas beri argument dan tulis simbolnya:

1.    Jika Harga  Gula naik, maka pabrik gula akan senang

Jika pabrik gula senang, maka petani tebu akan senang

Jadi , ......

2.    Jika Lampu lalu lintas menyalah merah, maka semua kendaraan akan berhenti Lampu lalu lintas menyalah merah

Jadi , ......

3.    Program komputer ini memiliki bug, atau menginputnya salah

Inputnya tidak salah

Jadi, .....

4.    Jika saya makan, maka saya akan kenyang

Saya tidak kenyang

Jadi,

Jawaban

  1.   P = Harga gula naik

            Q = Pabrik gula akan senang

            R = Petani tebu akan senang      Jika Harga  Gula naik maka pabrik gula akan senang (p → q) 

           Jika pabrik gula senang maka petani tebu akan senang (q → r) 

           Jadi, Harga  Gula naik maka petani tebu akan senang ( p → r )

       2.   P = Lampu lalu lintas menyala merah

           Q = Semua kendaraan akan berhenti

           Jika Lampu lalu lintas menyalah merah maka semua kendaraan akan berhenti (p → q)

           Lampu lalu lintas menyalah merah (p)

           Jadi, semua kendaraan akan berhenti (q)

       3.   P = Program komputer memiliki bug

           Q = Inputnya salah

           Program komputer ini memiliki bug, atau menginputnya salah ( p ᴠ q )

           Inputnya tidak salah (~ q )

           Jadi, Program komputer memiliki bug (p ) 

       4.   P = Saya makan

           Q = Saya kenyang

            Jika saya makan maka saya akan kenyang (p → q)    

            Saya tidak kenyang ( ~ q )

            Jadi, Saya tidak makan( p )

Contoh :

Selidiki apakah kedua proposisi di bawah ini setara:

1.    Tidak benar bahwa sistem bilangan biner dipergunakan dalam sistem digital atau sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan.

2.    Sistem bilangan biner tidak dipergunakan dalam sistem digital dan tidak benar bahwa sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlaianan.

(hint: buktikan : ~( p ˅ q ) ≡ ~ p ˄ ~ q ) 

p : Sistem billangan biner dipergunakan dalam system digital
q : Sistem digital hanya mengonsumsi nilai yang berlainan

Pembuktian:

1.    ~( p ˅ q ) : Tidak benar bahwa sistem bilangan biner dipergunakan dalam sistem digital atau sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan (Jadi penjelasannya ~( p ˅ q ) itu sama saja seperti ~p ˅ ~q dengan ada kata “Tidak benar” itu sudah bisa menyatakan negasi dari ~( p ˅ q ) ).

2.    ~p ˄ ~q : Sistem bilangan biner tidak dipergunakan dalam sistem digital dan tidak benar bahwa sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlaianan. (Jadi penjelasannya negasi dari p dan negasi dari q lalu symbol ˄(dan) ).

Variasi Implikasi 

Jika implikasi : p → q

Maka: Konversnya              : q → p

Inversnya                  : ~p → ~q

Kontrapositipnya      : ~q → ~p

Contoh: Tentukan konvers,invers, dan kontrapositif dari proposisi berikut:

Jika Ms Word aplikasinya maka windows sistem operasinya.

P : Ms Word aplikasinya

Q : Windows sistem operasinya.

Penjelasan :

Konvers : q → p : Jika Windows sistem operasinya maka Ms Word aplikasinya

Invers : ~p → ~q : Jika Ms Word bukan aplikasinya maka windows juga bukan system operasinya.

Kontrapositif : ~q → ~p : Jika windows bukan system operasinya maka Ms Word juga bukan aplikasinya

Multiple Choice

     1.    Suatu kalimat yang bernilai benar atau salah saja disebut...
           a.Deklarasi                                        d.disjungsi
           b.Proposisi                                        e.Implikasi
           c.Pernyataan

     2.    P = hari ini saya kuliah matematika diskrit, jika dicari negasinya maka hasilnya...
           a.Hari ini saya tidak kuliah matematika diskrit
           b.Besok saya kuliah matematika diskrit
           c.Saya kuliah matematika diskrit
           d.Hari ini saya kuliah automata
           e.Semua salah

      3.    Jika p benar, q salah dan r benar, maka proposisi di bawah ini yang mempunyai nilai kebenaran ’salah’ adalah...
           a.(p v q)→ r                                                   d.(p ᴠ q)→~r
           b.(p ʌ q)→ r                                                   e.(p ᴠ q) ᴠ r
           c.(p ʌ ~ q) ᴠ r

      4.    Kumpulan pernyataan – pernyataan atau premis-premis atau dasar pendapat serta kesimpulan (konklusi) disebut...
           a.Premis                                                        d.Proposisi
           b.Argumen                                                    e.Validitas
           c.Pernyataan

     5.    1.Jika saya rajin belajar maka nilai saya bagus     
          2.Saya rajin belajarDari dua argumen di atas maka kesimpulan yang diperoleh yaitu...
          a.Nilai saya tidak bagus                             d.Saya rajin belajar
          b.Saya tidak rajin belajar                            e.Semua benar
          c.Nilai saya bagus

Tugas Pertemuan 6

Soal :
Buktikan bahwa untuk sembarang elemen a dan b dari aljabar Boolean:
1.) a+a’b =a+b
2.) a(a’+b) = ab
3.) a+1 = 1
4.) (ab)’ = a’ + b’

Jawab:
1.)  a+a’b    = (a+ab) + a’b           Penyerapan
                   = a+(ab+a’b)             Asosiatif
                   = a(a+a’)b                 Distributif
                   = a+1.b                     Komplemen
                   = a+b                        Identitas

2.) a(a’+b)  = aa’+ab        Distributif
                   = 0 + ab        Komplemen
                   = ab              Indentitas

3.) a+1       = a +(a+a’)    Komplemen
                   =(a+a)+a’     Asosistif
                   = a+a’           Idempoten
                   = 1                Kompelemen

4.) (ab)’       = a’ + b’

Latihan Soal :

Cari komplemen dari
1. f(x,y,z) = x’(yz’+y’z)
2. f(x) = x
3. f(x,y) = x’y + xy’+ y’
4. f(x,y) = x’y’
5. f(x,y) = (x+y)’
6. f(x,y,z) = xyz’
Jawaban :

     1.    f(x,y,z      = x’(yz’+y’z)

          f’(x,y,z)    = x+(yz’+y’z)’

                                          = x+(yz’)’+(y’z)’                    = x+(y’z)+(yz’)

      2.    f(x)      = x
     f’(x)      = x’

      3.    f(x,y)   = x’y + xy’+ y’
      f’(x,y)  =(x’y)+( xy’+ y’)
                 =(x+y’)(x’+y)y

      4.    f(x,y)   = x’y’
      f’(x,y)  = (x+y)’

      5.    f(x,y)   = (x+y)’                 = (x)(y)

      6.    f(x,y,z) = xyz’

      f’(x,y,z)= x’+y’+z

Multiple Choice

1. Aljabar yang terdiri atas suatu himpunan dengan operasi jumlah/disjungsi, kali/konjungsi dan komplemen/negasi serta elemen 0 dan 1 disebut…..

a. pernyataan
b. Aritmatika
c. Aljabar Real
d. Geometri
e. Aljabar Boolean

2. Di bawah ini yang merupakan hukum dominasi adalah……

a. a + 0 = a
b. a.a = a
c. a + a’ = 1
d. a + 1 = 1
e. a.b = b.a

3. Peubah dalam Boolean disebut dengan……

a. Relasi
b. Literal                         
c. Fungsi
d. Komplemen
e. Variabel

4. f(x,y) = x’y + xy’+ y’jika dicari komplemennya menjadi…..

a. f’(x,y) = (x+y’)(x’+y)y         
b. f’(x,y) = xy’ + x’y + y
c. f’(x,y) = x’y + xy’ + y’
d. f’(x,y) = (x’ + y)(x+y’)y’
e. Salah semua

5. f(x,y) = x’y + xy’+ y’ jika dicari bentuk dualnya menjadi…..

a. f’(x,y) = (x+y’)(x’+y)y           
b. f’(x,y) = xy’ + x’y + y
c. f’(x,y) = x’y + xy’ + y’
d. f’(x,y) = (x’ + y)(x+y’)y’
e. Salah semua