Matematika Diskrit (Pert 1-3)
Nama Kelompok :
- Gardito Gema Ramadhan
- Tasya Nabila Fauzia
= { win3.1, win3.11, win,95, win97, win98, win98SE }
4. Dibawah ini yang termasuk hukum komutatif adalah…..
5. {(Budi),(Herman)}
- Gardito Gema Ramadhan
- Tasya Nabila Fauzia
Kelas : 12.2A.05
Pertemuan 1
1. Tuliskan dalam bentuk deskripsi himpunan berikut ini:
A = { Adobe Photoshop, Macromedia Fireworks,PrintShopPro,GIMP, … }
B = { PHP, ASP, Cold Fusion, … }
C = { Windows, Linux, Unix, MacOS, OS/2, … }
D = { disket, CD-R, Hardisk, … }
A = { Adobe Photoshop, Macromedia Fireworks,PrintShopPro,GIMP, … }
B = { PHP, ASP, Cold Fusion, … }
C = { Windows, Linux, Unix, MacOS, OS/2, … }
D = { disket, CD-R, Hardisk, … }
2. Misalkan
semesta pembicaraan adalah sistem produksi Microsoft dan himpunan-himpunan
lainnya dinyatakan oleh:
A = { win3.1,
win3.11,win,95,win97}
B = {
win97,win98,win98SE,winME}
C = { winME,win2000,winXP,…
}
carilah:
a.) (A U B)-B b.)
(A Ո B) U C' c.) (A ⊕ C) - C d.) ( B- C) ⊕ A
e.) (A Ո B) U (A Ո C f.) (A-B) Ո C' g.) 2A h.)
2B
i. ) NA Ո B j.) NA U B
3. Dari
35 orang programmer yang mengikuti wawancara untuk sebuah pekerjaan
diketahui
diketahui
25
menguasai Pascal
28
menguasi C++
2 tidak menguasai keduanya
Berapa orang yang menguasai keduanya?
Berapa orang yang menguasai keduanya?
~Jawab~
1. A
= Himpunan dari Aplikasi manipulasi Foto dan Penggunaan Multimedia.
B = Himpunan dari Bahasa
Pemrograman dan Framework pemgembang
perangkat lunak.
C = Himpunan dari Nama-nama
Sistem operasi.
D = Himpunan dari Nama-nama
media penyimpan data.
2. A.)
Dik : A = { win3.1, win3.11, win,95, win97 }
B = { win97,
win98, win98SE, winME }
Dit : (A U B)-B ?
Jawab:
· A U B = { win3.1, win3.11,
win,95, win97, win98, win98SE, winME}
· (A U B) - B = { win3.1,
win3.11, win,95, win97, win98, win98SE, winME}
- { win97, win98,
win98SE, winME }
= { win3.1,win3.11,win,95 }
B.) Dit : (A Ո B) U C'
Jawab :
·
A Ո B = { win97 }
·
U = { win3.1, win3.11, win,95,
win97, win98, win98SE, winME, win2000,winXP }
C = { winME,win2000,winXP,… }
C' = { win3.1, win3.11, win,95, win97, win98, win98SE }
(A Ո B) U C' = { win97 } U { win3.1, win3.11, win,95, win97,
win98, win98SE }
win98, win98SE }
C.) Dit : (A ⊕ B) – C ?
Jawab :
· A ⊕ B = { win3.1, win3.11,
win,95, win98, win98SE, winME }
·
(A ⊕ B) – C = { win3.1,
win3.11, win,95, win98, win98SE, winME}
– {
winME,win2000,winXP,… }
= { win3.1, win3.11, win,95, win98,
win98SE }
D.) Dit : ( B- C) ⊕ A ?
Jawab :
·
B- C = { win97, win98, win98SE
}
· ( B- C) ⊕ A = { win97, win98, win98SE } ⊕
{ win3.1, win3.11,
win,95, win97 }
=
{ win3.1, win3.11, win,95, win98, win98SE }
E.) Dit : (A Ո B) U (A Ո C)' ?
Jawab :
·
A Ո B = { win97 }
·
U = { win3.1, win3.11, win,95, win97, win98, win98SE, winME, win2000,winXP }
A = { win3.1,
win3.11,win,95,win97 }
A’ = {
win98,win98SE,winME, win2000,winXP,… }
·
U = { win3.1, win3.11, win,95, win97, win98, win98SE, winME, win2000,winXP }
C = {
winME,win2000,winXP,… }
C’ = { win3.1,
win3.11,win,95,win97,win98,win98SE }
(A Ո C)' = { win98,win98SE }
·
(A Ո B) U (A Ո C)' = { win97 } U { win98,win98SE }
= {
win97,win98,win98SE }
F.) Dit : (A-B) Ո C' ?
Jawab :
·
A-B = { win3.1, win3.11,win,95 }
·
U = { win3.1, win3.11, win,95, win97, win98, win98SE, winME, win2000,winXP }
C = {
winME,win2000,winXP,… }
C’ = { win3.1,
win3.11,win,95,win97,win98,win98SE }
·
(A-B) Ո C' = { win3.1, win3.11,win,95 } Ո
{
win3.1, win3.11,win,95,win97,win98,win98SE }
= { win3.1, win3.11,win,95 }
= { win3.1, win3.11,win,95 }
G.) Dit : 2A ?
Jawab :
·
{ { win3.1},{ win3.11},
{win,95}, { win97}, { win3.1, win3.11}, { win3.1, win95},{win3.1, win97},{
win3.11, win95},{ win3.11, win97},{ win95, win97},{win3.1,win3.11, win,95},{
win3.1, win3.11, win97},{ win3.11, win95, win,97},{win3.1, win3.11, win,95,
win97 },∅}
H.) Dit : 2B ?
Jawab :
·
{ { win97},{ win98},
{win98SE}, { winME}, { win97, win98}, { win97, win98SE},{win97, winME},{
win98, win98SE},{ win98, winME},{ win98SE, winME},{win97, win98, win,98SE},{
win97, win98, winME },{ win98,win98SE,winME},{win97, win98, win98SE, winME },∅}
I.) NA Ո B?
Jawab : 1
J.) NA U B ?
Jawab : { win3.1, win3.11,
win,95, win97, win97, win98, win98SE, winME}
3. Dit
: Programmer : U =
35
Pascal :
N(P) = 25
C++ :
N(C) = 28
Tidak Keduanya :
N(A Ո B)’ = 2
Jawab : N(A Ո B) = N(P) +
N(C) - U
= 25 +
28 - 35
= 18
Jadi ada 18 orang yang menguasai keduanya
Multiple Choice Pertemuan 1 !!
1. kumpulan benda atau objek nyata maupun abstrak yang mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama
disebut……
a)
Himpunan d) Kuasa
b) Komutatif e)
Assosiatif
c) Gabungan
2. Notasi untuk menyatakan A anggota himpunan
adalah….
a. ∉ b. ∈ c. ⊆ d. Ո e. U
3. A={ Matematika diskrit, Automata, Rangkaian
Digital} B= { Automata, TRL}
Maka operasi A Ո B adalah…..
a. {matematika Diskrit} d. {TRL}
b. {Automata} e.
{}
c. {Rangkaian Digital}
a. A U B = A d. A Ո U = A
b. (A U B) U C = A
U (B U C) e. A U B = B U A
c. A U U = U
5. Jika A={Mouse,CPU}
maka kuasa himpunannya ada…..
a. 1 b. 2 c. 3 d.
4 e. 0
Tugas Pertemuan 2
Latihan:
Selidiki
jenis fungsi atau bukan, fungsi satu-ke-satu atau bukan, fungsi pada atau
bukan.
1. A={1,2,3,4}
dan B={u,v,w} diberikan f={(1,u),(2,v),(3,w)}
Jawab : Fungsi satu-ke-satu
2. A={1,2,3}
dan B={u,v,w} diberikan f={(1,u),(1,v),(2,v),(3,w)}
Jawab : fungsi
pada,bukan fungsi satu-ke-satu
3. A={1,2,3}
dan B={u,v,w,x} diberikan f ={(1,w),(2,u),(3,v)}
Jawab : Fungsi satu-ke-satu, Bukan fungsi pada
4. A={1,2,3}
dan B={u,v,w} diberikan f={(1,u),(2,u),(3,v)}
Jawab : Fungsi Pada
5. A={1,2,3}
dan B={u,v,w} diberikan f={(1,u),(2,w),(3,v)}
Jawab : Fungsi satu-ke-satu
Soal Tabel Relasi…!!!
1. Nyatakan
relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel
ID
|
Nama
|
Manajer
|
1089
|
Budi
|
Zamora
|
5624
|
Candra
|
Ivan
|
9843
|
Herman
|
Rudi
|
7610
|
Rian
|
Irwan
|
2. Nyatakan
relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel
Dept.
|
Manajer
|
23
|
Zamora
|
10
|
Rudi
|
12
|
Irwan
|
3. Nyatakan
relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel
Dept.
|
No.Barang
|
Banyaknya
|
23
|
23a
|
200
|
10
|
33c
|
45
|
23
|
500
|
56
|
25
|
11
|
150
|
4. Nyatakan
relasi yang diberikan oleh tabel berikut sebagai himpunan dari n-tupel
Nama
|
No.Barang
|
United supplies
|
33c
|
ABC Limited
|
23a
|
ABC Limited
|
11
|
JCN Electronics
|
500
|
5. Carilah
nama-nama semua pekerja (jangan sertakan nama manajer)
6. Carilah
semua nomor produk
7. Carilah
semua produk yang dipasok oleh departemen 23 8.
8. Carilah
nomor produk dari produk-produk yang menangani paling sedikit 50 jenis barang.
~Jawab~
Jawaban 1-4
ID
|
Nama
|
Dept
|
No.Barang
|
Banyaknya
|
1089
|
Budi
|
23
|
23a
|
200
|
1089
|
Budi
|
23
|
500
|
56
|
9843
|
Herman
|
10
|
33c
|
45
|
5. {(Budi),(Herman)}
6.
{(23a),(500),(33c)}
7.
{(23a,200) ,(500,56)}
8.
{(23a,200) ,(500,56)}
Multiple Choice Pertemuan 2 !!
1. Hubungan
antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain disebut…….
A. Fungsi
B. Himpunan
C. Relasi
D. Proyeksi
E. Join
2. Yang
merupakan bentuk pemaparan relasi adalah…….
A. Koordinat D.
Graf berarah
B. Matrik E. semua benar
C. Pemetaan
3. Misal
A= { 1, 2, 3} dan R= { (1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)} memenuhi sifat
relasi……
A. Refleksif D. Selection
B. Symetric E. Proyeksi
C. Transitif
4. Notasi
operator memilih kolom dalam suatu tabel adalah….
A. 𝜏 B. π C. 𝜇 D.
𝜌
5. Suatu
relasi dimana tidak ada dua elemen himpunan asal yang memiliki bayangan yang sama disebut………
A. Relasi D. One to one
B. Fungsi E. Himpunan
C. Onto
Tugas Pertemuan 3
1. Tentukan Validitas pernyataan dibawah ini
bila domain pembicaraannya himpunan bilangan real
a) ∀x, ∀y, P(x² < y + 1) b) ∀x, ∀y, P[(x < y) → (x² < y²)]
∀x, ∃y, P(x² < y + 1) ∀x, ∃y, P[(x < y) → (x² < y²)]
∃x, ∀y, P(x² < y + 1) ∃x, ∀y, P[(x < y) → (x² < y²)]
∃x, ∃y, P(x² < y + 1) ∃x, ∃y, P[(x < y) → (x² < y²)]
a) ∀x, ∀y, P(x² < y + 1) b) ∀x, ∀y, P[(x < y) → (x² < y²)]
∀x, ∃y, P(x² < y + 1) ∀x, ∃y, P[(x < y) → (x² < y²)]
∃x, ∀y, P(x² < y + 1) ∃x, ∀y, P[(x < y) → (x² < y²)]
∃x, ∃y, P(x² < y + 1) ∃x, ∃y, P[(x < y) → (x² < y²)]
Jawaban:
a)
§ Semua
bilangan real dalam himpunan x dan himpunan y yang merupakan bilangan real.
Bilangan x real dapat dibagi habis dengan bilangan y real.
§ Semua
bilangan real dari himpunan x dan beberapa dari himpunan y. Bilangan-bilangan x
dapat dibagi habis oleh beberapa bilangan y.
§ Beberapa
bilangan real dari himpunan x dan semua dari himpunan y.
Bilangan x tidak dapat dibagi habis oleh semua bilangan y
dinyatakan salah.
§ Beberapa
bilangan x dan juga beberapa bilangan y.
Harusnya kalau dihitung bilangan tersebut dengan operator
< bahwa tidak benar.
b)
§ Semua
bilangan real dalam himpunan x dan himpunan y merupakan bilangan real.
Jika himpunan x kurang dari himpunan y maka himpunan x²
kurang dari himpunan y².
§ Semua
bilangan x adalah bilangan real dan beberapa himpunan y adalah bilangan
real.
Jika anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka
anggota himpunan x² kurang dari anggota himpunan y².
§ Beberapa
anggota himpunan x adalah bilangan real dan semua anggota himpunan y adalah
bilangan real.
Jika anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka
anggota himpunan x² kurang dari anggota himpunan y².
§ Beberapa
anggota himpunan x adalah bilangan real dan beberapa anggota himpunan y adalah
bilangan real.
Jika
anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka anggota himpunan x² kurang
dari anggota himpunan y².
2. Negasikan setiap pernyataan dibawah ini:
a) ∀x, P(x) ∧ ∃y, Q(y)
Jawab: ∃x, ~P(x) ∨ ∀x, ∼Q(y)
b) ∃x, P(x) ∨ ∀y, Q(y)
Jawab: ∀x, ~P(x) ∨ ∃y, ~Q(y)
c) ∀x, ∃y, [P(x) ∨ Q(y)]
Jawab: ∃x, ∀y, [~P(x) ∧ ~Q(y)
a) ∀x, P(x) ∧ ∃y, Q(y)
Jawab: ∃x, ~P(x) ∨ ∀x, ∼Q(y)
b) ∃x, P(x) ∨ ∀y, Q(y)
Jawab: ∀x, ~P(x) ∨ ∃y, ~Q(y)
c) ∀x, ∃y, [P(x) ∨ Q(y)]
Jawab: ∃x, ∀y, [~P(x) ∧ ~Q(y)
Latihan !!
Buktikan dengan induksi matematik
Buktikan dengan induksi matematik
1) Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2
Jawab :
Bukti :
Basis
induksi
Untuk =1,
diperoleh 1= n2 , ini adalah
benar sebab
1
= n2
= 12
= 1à pernyataan benar
Langkah
induksi. BiIa untuk n >1 pernyataan
1+3+5+...+(2n-1)=
n2 adalah benar (hipotesis
induksi)
1+2+3+...+(2n-1)
+(2n+1) -1 = (n+1)2 akan dibuktikan
Bukti :
1+3+5+…+ (2n-1) + (2n+1) -1) = n2 + (2n+1) – 1
=
n2 + (2n+2) – 1
=
n2 + 2n+1
=
(n+1)2
Karena langkah
basis dan langkah induksi keduanya telah dibuktikan benar,
maka untuk semua bilangan ganjil positif pertama adalah n2 terbukti bahwa:
maka untuk semua bilangan ganjil positif pertama adalah n2 terbukti bahwa:
1+3+5+…+ (2n-1) = n2
Ingat bahwa rumus :
(a+b)2
= a2 +2.a.b+b2
a2 +2ab+b2
(a+2)2
= a2 +2.2.a+ 22
a2 +2a+ 4
(a+1)2
= a2 +2.1.a+ 12
a2 +2a+ 1
2) Untuk semua n >1 maka adalah n3
+2n adalah kelipatan 3
Jawab :
Bukti :
Basis
induksi :
untuk n=1 kita peroleh 3 = n3+2(n) = 13+2(1) = 3 , ini
jelas benar sebab
3 = n3+2(n)
= 13+2(1) = 1+ 2=3 -à pernyataan benar
Langkah
induksi. Jika untuk n > 1 pernyataan
(n+1)3
+ 2(n+1) = {[(n+1)2] [n+1]} + 2(n+1) adalah benar (hipotesis
induksi)
Kita
harus menunjukkan bahwa :
( n+1)3 +
2(n+1) = (n3 + 2n) + 3(n2
+ n + 1) benar
Langkah
pembuktian 2
Untuk
membuktikan ini tunjukan bahwa :
(n+1)3
+ 2(n+1) = (n3 + 2n) + 3(n2
+ n + 1)
{[(n+1)2]
[n+1]} + 2(n+1 = {[n2 + 2n + 1] [n +1]} + (2n + 2)
= (n3
+ 2n2 + n + n2 +2n +1) + (2n+ 2)
= (n3
+ 3n2 + 3n +1) + (2n + 2)
= (n3
+ 2n ) + 3n2 + 3n + 3)
= (n3
+ 2n) + 3(n2 + n + 1)
Karena (=
(n3 + 2n) adalah kelipatan 3 (hipotesa induksi) dan 3(n2 +
n + 1) adalah juga merupakan kelipatan 3, maka
= (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1) adalah kelipatan 3 Terbukti n3
+ 2n adalah kelipatan 3 untuk n >1
3) 1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
Jawab
:
n=1
1.2+2.3+3.4+....+n(n+1) = n(n+1)(n+2) /3
1(1+1) = 1(1+1)(1+2) /3
1(2)
=1(2)(3) /3
2 = 2 (Terbukti benar)
Multiple Choice Pertemuan 3 !!
1. Dalam Untuk menyatakan kuantitas suatu objek proposisi
digunakan notasi yang disebut…….
a. Elemen
d. Relasi
b. kuantor e.
Fungsi
c.
refleksif
2. Untuk menunjukkan kuantitas obyek beberapa disimbolkan/
dinotasikan dengan…….
a. ∃ b. ⩝ c. ῼ d. ∑ e.𝝅
3. Negasi / ingkaran dari ∃X adalah………
a. ∃x b. ⩝x c. ῼx d.
∑x e.𝝅𝑥
4. Pernyataan p(1) benar dalam Induksi Matematika disebut
dengan……..
a.
Langkah Induksi d.
Hipotesis induksi
b.
Hipotesis e.
Induksi Matematika
c. Basis induksi
5. Teknik pembuktian yang baku dalam matematik, khususnya
menyangkut bilangan bulat positif disebut dengan…….
a.
Langkah Induksi d. Hipotesis
induksi
b.
Hipotesis e. Induksi Matematika
c. Basis
induksi
Komentar
Posting Komentar